Partie B : démonstration

Dans la partie A, on a conjecturé que la moyenne arithmétique de trois nombres positifs est toujours supérieure à leur moyenne géométrique. Dans cette partie, on prouvera ce résultat dans le cas de deux nombres positifs.

Considérons deux nombres positifs \(a\) et \(b\).

1. Écrire leur moyenne arithmétique \(M_{a,b}\).
2. Écrire leur moyenne géométrique \(m_{a,b}\).
3. Développer \((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\).
4. Montrer que \((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2=2(M_{a,b}-m_{a,b})\).
5. Conclure.
6. Dans quel cas la moyenne arithmétique de deux nombres est-elle égale à leur moyenne géométrique ?